Нестандартни математически методи

Тази книга представя в разширен вид публикуваните от автора в книгата му „Ярослав Тагамлицки - учен и учител" оригинални идеи на Я. Тагамлицки, отнасящи се до геометрията и анализа. Изложеният материал е разпределен в три глави. Първа глава съдържа предимно геометрични факти, които са следствия от една теорема на Я. Тагамлицки. В нея се доказва, че на всяко ограничено точково множество М в пространството може да се съпостави неотрицателно число - обобщен обем, или накратко обем, така че: 1) паралелепипед Р с дължини на страните а, Ь, с да има -обем v(Р) = а.Ь.с. и 2) ако М1 и М2 са ограничени точкови множества, нямащи общи точки, то сумата от обемите им е равна на обема на обединението им. Доказателството на тази теорема е сложно и труднодостъпно даже за студенти по математика. Простата й формулировка обаче дава възможност тя да се използва като аксиома, която тук наричаме аксиома на Я. Тагамлицки. Тази аксиома ни освобождава от задължението да дефинираме понятията „обем" и “лице", защото съществуването на обем се постулира, а съществуването на лице следва непосредствено от аксиомата. В замяна на това обаче тя ни лишава от свойството, според което еднакви точкови множества в пространството имат равни обеми (съответно лица, ако са равнинни). По тази причина намирането например на лице на триъгълник е необичайно. Предимствата на аксиомата на Я. Тагамлицки далеч надхвърлят някои неудобства при ползването й, особено като се имат предвид лесно доказуемите нейни следствия като например важният за анализа принцип за непрекъснатост. Във втора глава е изложена друга оригинална идея на Я. Тагамлицки. Той обособява един достатъчно широк клас от т. нар. нормални функции и за него дефинира, без граничен преход, понятието производна на функция. Също така без да използва граничен преход, той дефинира понятието примитивна функция (неопределен интеграл), което прави възможно да се дефинира като непосредствено следствие и понятието определен интеграл. Всичко това значително съкращава пътя, който изучаващият трябва да извърви, докато достигне приложенията на анализа. В края на главата се дава строга аналитична дефиниция на елементарните функции, като се доказва същевременно, че те спадат към класа на нормалните функции. Дефинициите и доказателствата принадлежат на Я. Тагамлицки. Трета глава е посветена на някои приложения на изложения в първите две глави материал. Примерите и задачите, съставляващи съдържанието на тази глава, са възможно най-прости и имат за цел да запознаят читателя със особеността на аналитичните методи да намират приложение при решаване на задачи, за които в елементарната математика няма създадени методи.